Was ist ein binäres System?

Binärsystem in alten Kulturen und modernen industriellen Technologien

Im Speicher eines Computers sind Daten und Programmcode als eine Folge von Zahlen 0 und 1 dargestellt. Das ist möglich, weil elektronische Basiselemente von Mikrochips meistens nur zwei stabile Zustände einnehmen können – “Ja” oder “Nein”, “Ein” oder “Aus”. Damit elektronische Zustände und Signale eindeutig als Informationen interpretierbar sind, werden sie mit Zahlen 0 und 1 codiert.

Was ist binäres System?

Ein binäres (von lateinisch bina „doppelt, paarweise“) System, auch Dualsystem oder Zweiersystem genannt, kennt nur zwei Zustände und verwendet somit nur zwei Ziffern 0 und 1 zur Darstellung von Zahlen. Jede Ziffer einer Binärzahl oder einer Binärfolge wird als Bit bezeichnet. Im Speicher elektronischer Geräte und bei Datenübertragung werden Bits für kompakte Darstellung in Gruppen von acht Bits eingeteilt. Eine Gruppe aus 8 nacheinander folgenden Bits nennt man Byte oder Oktett.

Neben den bekanntesten Zahlensystemen Dezimal und Binär gibt es auch andere Zahlensysteme wie Hexadezimal und Oktal, die in Informatik, Digitaltechnik und bei Datenkommunikation zum Einsatz kommen. Zahlensysteme unterscheiden sich voneinander nach der zugrundeliegenden Basiszahl. Die Basiszahl (die Basis) eines Zahlensystems ist gleich der Gesamtzahl aller möglichen Ziffern, die das Zahlensystem verwendet.

Das Binärsystem im Video

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Die in Informatik am häufigsten verwendeten Positionszahlensysteme sind:

Das Dezimalsystem: Ziffern von 0 bis 9; Basis 10
Das Binärsystem: Ziffern 0 und 1; Basis 2
Das Oktalsystem: Ziffern 0, 1, …,7; Basis 8
Das Hexadezimalsystem: Ziffern 0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F; Basis 16

In Positionszahlensystemen hat jede Position einer Zahl ihre eigene Wertigkeit oder ihr eigenes Gewicht. Wenn wir die Basis eines Positionszahlensystems als B bezeichnen und die Positionen einer N-stelligen Zahl von rechts nach links mit Indexen 0, 1, 2, …, (N-1) nummerieren, hat die erste (rechte) Position der Zahl das kleinste Gewicht von B^0, die zweite Position hat das Gewicht B^1, die dritte B^2, die vierte B^3 usw. Die letzte (linke) Position der Zahl hat das größte Gewicht von B^(N-1).

Den Wert einer Zahl kannst Du berechnen, indem Du jede Ziffer mit der Wertigkeit ihrer Position multiplizierst und die berechneten Werte zusammen addierst:

Ziffer_Position_0 x Gewicht_Position_0 + Ziffer_Position_1 x Gewicht_Position_1 + Ziffer_Position_2 x Gewicht_Position_2 + Ziffer_Position_3 xGewicht_Position_3 + ...

Wenn Du diese allgemeine Regel auf eine Dezimalzahl, zum Beispiel 128, von rechts nach links anwendest, bekommst Du das folgende Resultat:

8x(10^0) + 2x(10^1) + 1x(10^2) = 8x1 + 2x10 + 1x100 = 8 + 20 + 100 = 128 (dec)

Wie funktioniert ein binäres System in der Informatik?

Um den Dezimalwert einer Binärzahl zu berechnen, kannst Du dieselbe Regel anwenden. Der Dezimalwert einer Binärzahl, wie zum Beispiel 1011 (bin), wird wie folgt berechnet:

1011 (bin) = Ziffer_Position_0xGewicht_Position_0 + Ziffer_Position_1xGewicht_Position_1 + Ziffer_Position_2 Gewicht_Position_2 + Ziffer_Position_3xGewicht_Position_3 = 1x(2^0) + 1x(2^1) + 0x(2^2) + 1x(2^3) = 1x1 + 1x2 + 0 + 1x8 = 11 (dec)

Was sind die Vorteile des Binärzahlensystems

Binäres System kommt häufig zum Einsatz. Das ist eine universelle Sprache von IT- und Kommunikationstechnologien bei Verarbeitung und Übertragung von Daten sowie eine interdisziplinäre Fachsprache, die Fachleute in der digitalen Ära verwenden, wenn sie mit der Technik sprechen. Damit Informationen effizient dargestellt werden, müssen sie in elektronischen Basiselementen effizient codiert sein. Es ist einfacher, ein elektronisches Element zu herstellen, das sich nur in zwei stabilen Zuständen befinden kann (z.B. gibt es einen Strom oder keinen Strom). Die Verwendung des Binärsystems erwies sich in elektronischen Schaltungen als am effektivsten, weil die Zahlen 0 und 1 mit zwei unterschiedlichen Spannungspegeln codiert werden können. Die Effizienz ist einer der Hauptgründe, warum dem Binärsystem so viel Aufmerksamkeit geschenkt wird.

Zur Darstellung jeder beliebig großen Zahl benötigt das Binärsystem nur zwei Ziffern. Zustände elektronischer Basiselemente und Signale elektronischer Komponenten, die in Informationstechnik verarbeitet und bei digitaler Kommunikation gesendet werden, können auch entweder mit zwei Binärzahlen 0 und 1 (Elementarzustände) oder als Sequenzen von Binärzahlen (Daten) repräsentiert sein. Dieser Ansatz ermöglicht es, effiziente kostengünstige Komponenten aufzubauen, zu integrieren und zu programmieren.

Nachteile

Ein Nachteil des Binärsystems besteht darin, dass man wesentlich mehr Stellen zur Codierung einer großen Binärzahl oder einer langen binären Zahlenfolge benötigt. Um große Binärzahlen kompakt darstellen zu können, zum Beispiel in Computerprogrammen, Informationssystemen oder bei Analyse von Netzwerkpaketen, werden Binärzahlen häufig als äquivalente Dezimal-, Hexadezimal- oder Oktalzahlen präsentiert. Du wählst einfach ein Zahlensystem aus, das Dir zur Beschreibung und Lösung einer konkreten Aufgabe am besten passt.

Binäre Zahlensysteme in alten Epochen und Kulturen

Zahlensysteme, die sich auf Binärzahlen beziehen, waren vor Tausenden von Jahren in verschiedenen alten Kulturen wie im alten Ägypten, in China und Indien bekannt. 2500 Jahre vor Christus entstand in China eine mysteriöse Inschrift, die nur mithilfe des Binärsystems vollständig und logisch erklärt werden kann. Sie besteht aus einer Reihe langer und kurzer Linien. Wenn wir annehmen, dass die lange Linie 1 bedeutet und die kurze 0 bedeutet, dann ist die gesamte Inschrift nur eine Reihe von natürlichen binären Zahlen, die nur mit der Logik eines Binärsystems einen Sinn bekommen.

1697 beschrieb Leibniz binäres Zahlensystem, das für wissenschaftliche Zwecke benutzt werden kann. Leibniz hielt das Binärzahlensystem für einfach und schön und meinte, dass dieses Zahlensystem für die Wissenschaft von grundlegender Bedeutung sei und zu neuen Entdeckungen führe. “Wenn man die Zahlen auf die einfachsten Anfänge wie 0 und 1 reduziert, erscheint das Wunderbare überall”, so Leibnitz. 1936 baute Konrad Zuse den ersten programmgesteuerten digitalen Computer. Im Jahre 1945 beschrieb John von Neumann das Architekturkonzept einer modernen Rechenmaschine, in der binäres Zahlensystem zum Einsatz kommt.

Das binäre Zahlensystem in einem ersten Entwurf von Gottfried Wilhelm Leibniz, 1697

Fazit

Binäres Zahlensystem ist die Grundlage moderner digitaler Technologien nicht nur in der Informationstechnik, sondern auch in der Industrie. Anwendungsbereiche des Binärsystems sind vielfältig und umfassen Informatik, Mathematik, mathematische Logik, Elektronik und Mechatronik, Kommunikation und Netzwerke. Auch moderne Maschinen und Automaten sind IT-fähig und können ohne binäre Logik in Prozessoren, Sensoren und digitalen Steuerelementen nicht funktionieren. Das Binärsystem, das auch in alten Zivilisationen bekannt worden war, ist ein universelles Mittel, das die Digitalisierung ermöglicht und Menschen, Computer, smarte Geräte und industrielle Technologien in der modernen digitalen Welt verbindet.