Was ist ein binäres System?

Binärsystem in alten Kulturen und modernen industriellen Technologien

Im Speicher eines Computers sind Daten und Programmcode als eine Folge von Zahlen 0 und 1 dargestellt. Das ist möglich, weil elektronische Basiselemente von Mikrochips meistens nur zwei stabile Zustände einnehmen können – “Ja” oder “Nein”, “Ein” oder “Aus”. Damit elektronische Zustände und Signale eindeutig als Informationen interpretierbar sind, werden sie mit Zahlen 0 und 1 codiert.

Was ist binäres System?

Ein binäres (von lateinisch bina „doppelt, paarweise“) System, auch Dualsystem oder Zweiersystem genannt, kennt nur zwei Zustände und verwendet somit nur zwei Ziffern 0 und 1 zur Darstellung von Zahlen. Jede Ziffer einer Binärzahl oder einer Binärfolge wird als Bit bezeichnet. Im Speicher elektronischer Geräte und bei Datenübertragung werden Bits für kompakte Darstellung in Gruppen von acht Bits eingeteilt. Eine Gruppe aus 8 nacheinander folgenden Bits nennt man Byte oder Oktett.

Neben den bekanntesten Zahlensystemen Dezimal und Binär gibt es auch andere Zahlensysteme wie Hexadezimal und Oktal, die in Informatik, Digitaltechnik und bei Datenkommunikation zum Einsatz kommen. Zahlensysteme unterscheiden sich voneinander nach der zugrundeliegenden Basiszahl. Die Basiszahl (die Basis) eines Zahlensystems ist gleich der Gesamtzahl aller möglichen Ziffern, die das Zahlensystem verwendet.

Das Binärsystem im Video

Die in Informatik am häufigsten verwendeten Positionszahlensysteme sind:

• Das Dezimalsystem: Ziffern von 0 bis 9; Basis 10
• Das Binärsystem: Ziffern 0 und 1; Basis 2
• Das Oktalsystem: Ziffern 0, 1, …,7; Basis 8
• Das Hexadezimalsystem: Ziffern 0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F; Basis 16

In Positionszahlensystemen hat jede Position einer Zahl ihre eigene Wertigkeit oder ihr eigenes Gewicht. Wenn wir die Basis eines Positionszahlensystems als B bezeichnen und die Positionen einer N-stelligen Zahl von rechts nach links mit Indexen 0, 1, 2, …, (N-1) nummerieren, hat die erste (rechte) Position der Zahl das kleinste Gewicht von B^0, die zweite Position hat das Gewicht B^1, die dritte B^2, die vierte B^3 usw. Die letzte (linke) Position der Zahl hat das größte Gewicht von B^(N-1).

Den Wert einer Zahl kannst Du berechnen, indem Du jede Ziffer mit der Wertigkeit ihrer Position multiplizierst und die berechneten Werte zusammen addierst:

Ziffer_Position_0 x Gewicht_Position_0 + Ziffer_Position_1 x Gewicht_Position_1 + Ziffer_Position_2 x Gewicht_Position_2 + Ziffer_Position_3 xGewicht_Position_3 + ...

Wenn Du diese allgemeine Regel auf eine Dezimalzahl, zum Beispiel 128, von rechts nach links anwendest, bekommst Du das folgende Resultat:

8x(10^0) + 2x(10^1) + 1x(10^2) = 8x1 + 2x10 + 1x100 = 8 + 20 + 100 = 128 (dec)

Wie funktioniert ein binäres System in der Informatik?

Um den Dezimalwert einer Binärzahl zu berechnen, kannst Du dieselbe Regel anwenden. Der Dezimalwert einer Binärzahl, wie zum Beispiel 1011 (bin), wird wie folgt berechnet:

1011 (bin) = Ziffer_Position_0xGewicht_Position_0 + Ziffer_Position_1xGewicht_Position_1 + Ziffer_Position_2 Gewicht_Position_2 + Ziffer_Position_3xGewicht_Position_3 = 1x(2^0) + 1x(2^1) + 0x(2^2) + 1x(2^3) = 1x1 + 1x2 + 0 + 1x8 = 11 (dec)

Wieso nutzt man jetzt eigentlich das Binärsystem in der Informatiosntechnik?

In der Informationstechnologie wird auf das Binärsystem zurückgegriffen, weil es die effizienteste und zuverlässigste Methode ist, digitale Daten in elektronischen Schaltungen darzustellen und zu verarbeiten. Das Binärsystem verwendet nur zwei Zustände, 0 und 1, die direkt den beiden möglichen Zuständen eines elektronischen Schalters entsprechen: aus (kein Stromfluss) und ein (Stromfluss). Diese Einfachheit erleichtert das Design und die Herstellung von digitalen Schaltkreisen und Speicherkomponenten, wie Transistoren, die die Grundbausteine moderner Prozessoren und Speicherchips bilden.

Durch die Verwendung des Binärsystems können digitale Systeme einfach, robust und effizient gestaltet werden. Es ermöglicht eine klare und eindeutige Darstellung von Daten und Befehlen, was die Grundlage für die hohe Zuverlässigkeit und Geschwindigkeit moderner Computer und Kommunikationssysteme bildet.

Das Binärsystem mit seinen Zuständen 0 und 1 zieht sich dabei durch sämtliche digitale Hardware und Funktionseinheiten eines Computersystems:

1. Transistoren:
   • Transistoren sind winzige elektronische Schalter, die zwischen den Zuständen an (1) und aus (0) umschalten können. Sie sind in Millionenanzahl auf integrierten Schaltkreisen (ICs) angeordnet und bilden die logischen Gatter, die die Grundoperationen eines Computers ausführen.
   • Da Transistoren nur zwei stabile Zustände haben, passt das Binärsystem perfekt zu ihrer Funktionsweise.
2. Logische Gatter:
   • Logische Gatter (AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR) verwenden binäre Werte, um grundlegende logische Operationen durchzuführen. Diese Gatter sind die Bausteine von komplexeren Schaltkreisen wie Addierwerken, Multiplexern und Speicherregistern.
   • Zum Beispiel führt ein AND-Gatter eine logische UND-Operation aus, bei der der Ausgang nur dann 1 ist, wenn beide Eingänge 1 sind.
3. Speicher:
   • Speicherzellen in RAM und ROM speichern Daten in Form von Bits (binary digits). Jeder Bit kann entweder den Wert 0 oder 1 annehmen.
   • Flash-Speicher und Festplatten verwenden ähnliche Prinzipien, um Daten binär zu speichern und abzurufen.
4. Digitale Kommunikation innerhalb eines Systems oder zwischen Systemen:
   • In der digitalen Kommunikation werden Daten als Sequenzen von Bits übertragen. Diese Bits können durch elektrische Signale, Lichtpulse (in Glasfaserkabeln) oder Funkwellen dargestellt werden. Zum Beispiel verwendet das Ethernet-Protokoll binäre Signale, um Datenpakete über Netzwerkkabel zu übertragen.
5. Datenverarbeitung (Prozessoren):
   • Prozessoren führen Berechnungen und Steuerungslogik durch, indem sie binäre Daten mit Hilfe von binären Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division verarbeiten.
   • Maschinenbefehle (Opcodes) und Adressen in der Maschinensprache sind ebenfalls in binärer Form kodiert, was die direkte Verarbeitung durch die CPU ermöglicht.
6. Fehlerkorrektur und -erkennung:
   • Binäre Codes ermöglichen die Implementierung von Fehlerkorrektur- und Fehlererkennungsverfahren wie Paritätsbits, Hamming-Codes und CRC (Cyclic Redundancy Check), die die Zuverlässigkeit von Datenspeicherung und -übertragung erhöhen.

Das Binärsystem und Maschinensprache

Das Binärsystem und die Maschinensprache sind eng miteinander verbunden, da die Maschinensprache die niedrigste Programmierebene ist, die direkt vom Prozessor eines Computers ausgeführt wird und in binären Zahlen dargestellt wird. Jedes Maschinenbefehl, wie z.B. Addition oder Datenverschiebung, wird als eine spezifische Folge von Bits (0en und 1en) kodiert. Diese binären Sequenzen, auch Opcodes genannt, repräsentieren die Anweisungen und Operanden, die der Prozessor versteht und ausführt.
Da elektronische Schaltkreise nur zwischen zwei Zuständen (an und aus) unterscheiden können, nutzt die Maschinensprache das Binärsystem, um die Effizienz und Präzision bei der Datenverarbeitung sicherzustellen. Durch diese direkte Abbildung auf die Hardware ermöglicht das Binärsystem eine schnelle und fehlerfreie Interpretation und Ausführung von Programmen auf der maschinellen Ebene.

Von Assembler zur Maschinensprache

Assembler und das Binärsystem sind eng miteinander verbunden, da Assembler eine niedrigstufige Programmiersprache ist, die direkt mit dem Binärcode eines Computers arbeitet. Assembler ermöglicht das Schreiben von Code in einer menschenlesbaren Form, die dann in binären Maschinencode übersetzt wird und bildet damit die Verbindung zwischen menschlich verständlichen Anweisungen und dem binären Code, den der Computer ausführt.

Die “Übersetzung” von menschenlesbarem Assembler-Code hin zur Maschinensprache an einem Beispiel:

; Einfache Assembler-Anweisung, die den Inhalt von Register BX in Register AX kopiert
MOV AX, BX

Diese Anweisung wird vom Assembler in eine binäre Form übersetzt, die der Prozessor versteht. Für einen bestimmten Prozessor könnte die binäre Form so aussehen:

10001011 11000001

Hier steht 10001011 für den MOV-Befehl und 11000001 für die Register AX und BX.

Was sind die Vorteile des Binärzahlensystems

Binäres System kommt häufig zum Einsatz. Das ist eine universelle Sprache von IT- und Kommunikationstechnologien bei Verarbeitung und Übertragung von Daten sowie eine interdisziplinäre Fachsprache, die Fachleute in der digitalen Ära verwenden, wenn sie mit der Technik sprechen. Damit Informationen effizient dargestellt werden, müssen sie in elektronischen Basiselementen effizient codiert sein. Es ist einfacher, ein elektronisches Element zu herstellen, das sich nur in zwei stabilen Zuständen befinden kann (z.B. gibt es einen Strom oder keinen Strom). Die Verwendung des Binärsystems erwies sich in elektronischen Schaltungen als am effektivsten, weil die Zahlen 0 und 1 mit zwei unterschiedlichen Spannungspegeln codiert werden können. Die Effizienz ist einer der Hauptgründe, warum dem Binärsystem so viel Aufmerksamkeit geschenkt wird.

Zur Darstellung jeder beliebig großen Zahl benötigt das Binärsystem nur zwei Ziffern. Zustände elektronischer Basiselemente und Signale elektronischer Komponenten, die in Informationstechnik verarbeitet und bei digitaler Kommunikation gesendet werden, können auch entweder mit zwei Binärzahlen 0 und 1 (Elementarzustände) oder als Sequenzen von Binärzahlen (Daten) repräsentiert sein. Dieser Ansatz ermöglicht es, effiziente kostengünstige Komponenten aufzubauen, zu integrieren und zu programmieren.

Nachteile

Ein Nachteil des Binärsystems besteht darin, dass man wesentlich mehr Stellen zur Codierung einer großen Binärzahl oder einer langen binären Zahlenfolge benötigt. Um große Binärzahlen kompakt darstellen zu können, zum Beispiel in Computerprogrammen, Informationssystemen oder bei Analyse von Netzwerkpaketen, werden Binärzahlen häufig als äquivalente Dezimal-, Hexadezimal- oder Oktalzahlen präsentiert. Du wählst einfach ein Zahlensystem aus, das Dir zur Beschreibung und Lösung einer konkreten Aufgabe am besten passt.

Binäre Zahlensysteme in alten Epochen und Kulturen

Zahlensysteme, die sich auf Binärzahlen beziehen, waren vor Tausenden von Jahren in verschiedenen alten Kulturen wie im alten Ägypten, in China und Indien bekannt. 2500 Jahre vor Christus entstand in China eine mysteriöse Inschrift, die nur mithilfe des Binärsystems vollständig und logisch erklärt werden kann. Sie besteht aus einer Reihe langer und kurzer Linien. Wenn wir annehmen, dass die lange Linie 1 bedeutet und die kurze 0 bedeutet, dann ist die gesamte Inschrift nur eine Reihe von natürlichen binären Zahlen, die nur mit der Logik eines Binärsystems einen Sinn bekommen.

1697 beschrieb Leibniz binäres Zahlensystem, das für wissenschaftliche Zwecke benutzt werden kann. Leibniz hielt das Binärzahlensystem für einfach und schön und meinte, dass dieses Zahlensystem für die Wissenschaft von grundlegender Bedeutung sei und zu neuen Entdeckungen führe. “Wenn man die Zahlen auf die einfachsten Anfänge wie 0 und 1 reduziert, erscheint das Wunderbare überall”, so Leibnitz. 1936 baute Konrad Zuse den ersten programmgesteuerten digitalen Computer. Im Jahre 1945 beschrieb John von Neumann das Architekturkonzept einer modernen Rechenmaschine, in der binäres Zahlensystem zum Einsatz kommt.

Das binäre Zahlensystem in einem ersten Entwurf von Gottfried Wilhelm Leibniz, 1697

Fazit

Binäres Zahlensystem ist die Grundlage moderner digitaler Technologien nicht nur in der Informationstechnik, sondern auch in der Industrie. Anwendungsbereiche des Binärsystems sind vielfältig und umfassen Informatik, Mathematik, mathematische Logik, Elektronik und Mechatronik, Kommunikation und Netzwerke. Auch moderne Maschinen und Automaten sind IT-fähig und können ohne binäre Logik in Prozessoren, Sensoren und digitalen Steuerelementen nicht funktionieren. Das Binärsystem, das auch in alten Zivilisationen bekannt worden war, ist ein universelles Mittel, das die Digitalisierung ermöglicht und Menschen, Computer, smarte Geräte und industrielle Technologien in der modernen digitalen Welt verbindet.

Quellen und weiterführende Informationen:

1. Grundlagen der Informatik – Zahlensysteme und interne Informationsdarstellung htw-dresden.de
2. Dirk W. Hoffmann, Grundlagen der technischen Informatik, 6. aktualisierte Auflage 03/2020
3. Computer des alten China